群

群

定义：一个集合和一种运算构成的二元组。

一个群要满足以下性质：

• 每个元素在该运算下都要有逆元。
• 这种运算满足结合律。
• 封闭性（若$a,b \in G$,则$a\cdot b\in G$）
• 有单位元

性质：
对于一个群G=(g,*)和一个元素a,G的单位元与$a$进行运算得到的结果一定是$a$本身。
（$g_ 1*g_ 2) \otimes a = g_ 1 \otimes (g_ 2 \otimes a)$,把$g_ 2$看做单位元)

对于一个置换，一个元素进行不停的变换时轨迹会变成一个环，否则在会合处有两个数置换结果会一样，不满足置换的定义。
(对于有限群其实也差不多)

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一个定理:对于一个元素$a$,一个群$g$中的元素对他作用可以根据结果分成若干个大小相等的组。
现在考虑证明在G中把$a$转化成$a$和$a_ 1$的元素个数一样。
现在假设我们找到了所有把$a$转化为$a$的$g_ 0$和一个把$a$转化为$a_ 1$的$g_ 1$。
根据群的结合律，会有$(g_ 1 * g_ 0 ) \otimes a = g_ 1 \otimes (g_ 0 \otimes a) = a_ 1$
所以只要找到了一个$g_ 1$，就可以还原出大于等于能变换出$a$的元素的个数。

现在考虑对于所有可以把$a$变成$a_ 1$的$g_ 1'$。
从中随便挑出一个$g_ 1$来。
有$g_ 1 \otimes a=g_ 1' \otimes a$
$e \otimes a=g_ 1 ^{-1} * g_ 1' \otimes a$
所以也可以通过从$a$到$a_ 1$的$g_ 1$构造出$g_ 0$
这样就有$|g _ 0| = |g _ 1|$(个数)

burnside

轨道：一个元素$a$经过变换能够到达的位置。((3,4,1,2)置换有两个轨道:(1,3),(2,4))
不动点:对于一个变换$f$,如果一个元素$s$经过变换后不变，则称$s$是$f$的不动点。

现在考虑一些问题。
现在把一个轨道提出来，问所有变换$f$的不动点个数之和。(这里仅在轨道内的点才被计入不动点)
再拿一个元素$a$出来，根据上面的定义，这些$f$被分成了若干个块。

怎么证明$a _ 1 - > a _ 1$的数量等于$a _ 0 -> a _ 1$的数量?
和上面的套路一样。
找一个$a_ 0->a_ 1$求逆，然后对于任意一个$a_ 0->a_ 1$，乘起来能对应构造出$a_ 1-> a_ 1$
找一个$a_ 0->a_ 1$，然后对于任意一个$a_ 1->a_ 1$，乘起来能对应构造出$a_ 0-> a_ 1$
这样就把$a_ 0 ->a_ i$的那一块表示到$a_ i$的不动点上了?
所以对于一个轨道，所有变换的不动点个数之和为变换的个数。
设一个置换p的不动点数为$F(p)$，总置换数为$n$，则：
$\sum_ p F(p)$=轨道数 $\times n$
轨道数$=\frac{\sum_ p F(p)}n$